О точном нахождении экстремальных полиномов на двумерном подпространстве

Abstract

Работа посвящена построению экстремальных полиномов на двумерном подпространстве. В большинстве случаев [1] задача о точном нахождении экстремальных в равномерной метрике полиномов для заданной непрерывной функции f да-же на отрезке [a,b] является неразрешимой. Поэтому рассмотрение тех случаев, когда для коэффициентов экстремаль-ных полиномов получаются точные формулы, представляет значительный интерес. Целью данной статьи является полу-чение точных формул для коэффициентов экстремальных полиномов при нахождении элемента наилучшего приближения на двумерном подпространстве. Из алгоритмов численного нахождения точек альтернанса наиболее удачным является алгоритм Е.Я. Ремеза (1957). В этой статье решается та же самая задача – построение экстремаль-ного полинома для непрерывной функции, определенной на отрезке [a,b], но исследуются те случаи, когда такое построе-ние можно осуществить точно. Под точным построением понимается, что некоторые точки альтернанса являются корнями полученных в процессе реализации алгоритма уравнений, но очень часто подобные уравнения (или системы урав-нений) имеют явные аналитические решения.=The paper centers round building up extreme polynomials on two-dimensional subspace. In most cases [1] the problem on exact finding extreme, in an even metrics, polynomials for the given continuous f function even on [a,b] fragment is unsolvable. That is why consideration of those cases, when for quotients of extreme polynomials exact formulas are obtained, is of great interest. The work aims at obtaining exact formulas for quotients of extreme polynomials while finding the element of best approach on two-dimensional subspace. Of the algorithms of numerical finding alternance points E.Ya. Remez algorithm (1957) is most appropriate. The same problem is being solved in the article – building up extreme polynomial for the continuous function, which is defined on the fragment of [a,b], but the cases are explored, when such building up can be made exactly. Exact building up is understood as some alternance points which are roots of the obtained in the process of implementation of algorithm, equations; however, such equations (or systems of equations) have vivid analytical solutions.