Многомерный аналог задачи Аполлония

Abstract

В работе классическая задача Аполлония о кратчайшем расстоянии от точки до эллипса решается методом разложения по малому параметру. Кроме того, рассмотрен многомерный аналог данной задачи. Получено алгебраическое уравнение, решение которого определяет требуемую точку на многомерном эллипсоиде. Заметим, что операция проектирования на выпуклое множество в гильбертовом пространстве является монотонным оператором [1]. Интересным является тот факт, что в данной задаче значения такого оператора находятся по корням алгебраического уравнения. Такое уравнение является удобным для численной реализации. Разложение корня по степеням малого параметра позволяет аналитически исследовать зависимость корня от координат точки, от которой до эллипса находится кратчайшее расстояние. В случае многомерного эллипсоида выделение малого параметра возможно не всегда, поэтому получающееся в процессе исследования задачи алгебраическое уравнение естественно решать каким-либо численным методом. Авторы данной статьи применяли алгоритм Вейерштрасса одновременного нахождения всех корней алгебраического уравнения. Установлена высокая эффективность такого итерационного процесса. =The classical Apollonius problem on the shortest distance from a point to an ellipse is solved in the article by the method of decomposition according to small parameter. Besides, a multidimensional analog of the problem is considered. An algebraic equation is obtained the solution of which defines the required point on a multidimensional ellipsoid. It should be pointed out that the operation of the projection on convex multitude in Gilbert space is a monotone operator [1]. It is interesting that in the problem the indications of such operator are in the radicals of an algebraic equation. Such equation is convenient for numerical implementation. Decomposition of the radical according to the degrees of small parameter makes it possible to analytically study the dependence of the radical on the point coordinates, from which it is the shortest to the ellipse. In case of multidimensional ellipsoid the identification of a small parameter is not always possible, that is why the algebraic equation, which is obtained as a result of study process, can be naturally solved by some numerical method. The authors used Weierstrass algorithm of simultaneous finding all radicals of the algebraic equations. High efficiency of such iteration process was found out.