Об одном легальном маршруте в пространстве квадратных матриц

Abstract

Решение многих задач современной механики, физики, техники связано с исследованием управляемых динамических систем, моделирующих физические, технические и иные процессы. Одним из основных факторов, определяющих динамику развития процесса, является его устойчивость – способность динамической системы, описывающей процесс, сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. Для управляемых процессов (систем, объектов) понятие устойчивости неразрывно связано с понятием стабилизации управляемого динамического процесса, которая представляет собой возможность приведения рассматриваемого процесса с помощью некоторого управляющего воздействия в устойчивое состояние. В математической теории автоматического регулирования широко известна задача о стабилизации управляемого объекта [1], описываемого линейной стационарной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, исчерпывающе решенная [2] еще в середине XX века. Задача глобального управления асимптотическими (ляпуновскими) инвариантами линейных дифференциальных систем [3, с. 251–264] является обобщением на нестационарный случай этой задачи стабилизации. Одним из этапов решения задачи глобальной управляемости ляпуновских инвариантов является построение в пространстве матриц так называемого легального маршрута [4]. В данной работе рассмотрена задача построения в пространстве квадратных матриц n-ого порядка одного легального маршрута [4], связывающего единичную матрицу с некоторой матрицей, последний столбец которой является наперед заданным n-мерным вектор-столбцом, сонаправленным с последним столбцом единичной матрицы.=The solution of many problems of modern mechanics, physics, technology is connected with the research of controlled dynamic systems which model physical, technological and other procecces. One of the major factors, defining the dynamics of progress of the process, is its stability – ability of the dynamic system, describing the process, to keep the current state with the presence of external influences. For controlled processes (systems, objects) the definition of stability is inseparably linked with the definition of stabilization of the controlled dynamic process which represents the possibility of reduction of the considered process by means of some controlled influence in a stable state. In the mathematical theory of automatic control the task of stabilization of the controlled object [1], which is described by linear stationary system of ordinary differential equations, more full solutions [2] in the middle of the XX century, is widely known. The problem of global control of asymptotic Lyapunov invariants of linear differential systems [3, p. 251–264] is generalization on a non-stationary case of this problem of stabilization. One of the stages of the solution of the problem of global controllability of the invariants of Lyapunov is construction of a so-called legal route [4] in space of matrices. The problem of the construction of one legal route [4] in the space of square n-dimensional matrices, which connects an identity matrix with some matrix the last column of which is beforehanded with n-dimensional vector-column, collinear with the last column of identity matrix, is considered in this paper.