Развитие теории конструирования экстремальных полиномов в комплексных областях и символьного решения алгебраических уравнений

Abstract

Объектом исследования являются аппроксимация функций комплексного аргумента экстремальными полиномами и алгоритмы нахождения решений алгебраических уравнений. Предметы исследования – метод построения экстремальных в чебышевской метрике полиномов, основанный на субдифференциальных конструкциях, и современные алгоритмы точного и приближенного решения алгебраических уравнений. Цель работы – получение явного вида выражений экстремальных полиномов фиксированной степени для некоторых областей комплексной плоскости, а также развитие теории символьного решения алгебраических уравнений. Получен явный вид экстремальных полиномов десятой и одиннадцатой степеней, наименее уклоняющихся от нуля на квадрате комплексной плоскости с центром в нуле. Развит метод вычисления общего кратного корня двух полиномов и построения точных формул, выражающих значение кратного корня полинома в виде рациональной функции от коэффициентов. Доказана аналитическая связь между структурами определителей Адамара, составленных из коэффициентов рядов Тейлора и Лорана функции , и Вандермонда, составленных из корней полинома , что позволило разработать новый приближенный метод вычисления корней полинома, не требующий предварительной локализации корней. Исследованы все случаи представления полиномов десятой и двенадцатой степеней в виде композиции полиномов меньших степеней, а также полиномы шестой степени, корни которых линейно связаны с корнями полиномов меньших степеней. Результаты работы представляют интерес для специалистов в области прикладной математики, имеют как теоретическое, так и практическое значение; внедрены в учебный процесс кафедры математики и кафедры инженерной физики ВГУ имени П.М. Машерова.