О неполной факторизации полиномов

Abstract

Во множестве всех алгебраических полиномов над полем комплексных чисел введены понятия допустимого преобразования и неполной факторизации. Установлены точные критерии неполной факторизации полиномов шестой, седьмой и восьмой степеней при наличии кратных корней. В первой половине девятнадцатого века стараниями двух выдающихся математиков-норвежца Н. Абеля и француза Э. Галуа была обоснована принципиальная невозможность построения корней произвольного алгебраического полинома степени выше четвертой в терминах его коэффициентов с помощью четырех арифметических операций и радикалов. Однако, от этого обозначенная проблема не перестала быть актуальной, причем остается такой и в настоящее время, поскольку математические модели физических, социальных и многих других процессов для проведения, в частности, их качественного анализа требуют знания явных выражений корней входящих в них алгебраических полиномов. Речь, разумеется, идет о простых алгоритмах построения таких выражений. Этому посвящена и настоящая работа. = In the set of all algebraic polynomials over the field of complex numbers the notion of permissible transformation and incomplete factorization are introduced. Exact criteria of incomplete factorization of the sixth, seventh and eighth degree polynomials with multiple roots are established. In the first half of nineteenth century the efforts of two outstanding mathematicians - the Norwegian N. Abel and the Frenchman E. Galois proved the impossibility of constructing the roots of an arbitrary algebraic polynomial of degree higher than the fourth the fourth in terms of its coefficients using four arithmetic operations and radicals. However, from this, the indicated problem did not cease to be relevant, and remains so at the present time, since mathematical models of physical, social and many other processes for carrying out, in particular, their qualitative analysis requires knowledge of the explicit expressions for the roots of the algebraic polynomials included in them. We are, of course, talking about simple algorithms for constructing such expressions. This work is also devoted to this.